首页 > 已知f(x)=3sinωx+3cosωx(ω＞0)．（1）若y=f(x+θ)(0＜θ＜π2)是周期为π的偶函数，求ω和θ的值；（2）g（x）=f（3x）在(-π2，π3)上是增函数，求ω的最大值；并求

已知f(x)=3sinωx+3cosωx(ω＞0)．（1）若y=f(x+θ)(0＜θ＜π2)是周期为π的偶函数，求ω和θ的值；（2）g（x）=f（3x）在(-π2，π3)上是增函数，求ω的最大值；并求

题目简介

已知f(x)=3sinωx+3cosωx(ω＞0)．（1）若y=f(x+θ)(0＜θ＜π2)是周期为π的偶函数，求ω和θ的值；（2）g（x）=f（3x）在(-π2，π3)上是增函数，求ω的最大值；并求

题目详情

已知f(x)=
3
sinωx+3cosωx(ω＞0)．
（1）若y=f(x+θ)(0＜θ＜
π
2
)是周期为π的偶函数，求ω和θ的值；
（2）g（x）=f（3x）在(-
π
2
，
π
3
)上是增函数，求ω的最大值；并求此时g（x）在[0，π]上的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：上海模拟

答案

（1）∵f（x）=
3
sinωx+3cosωx=2
3
sin（ωx+class="stub"π
3
），
∴y=f（x+θ）=2
3
sin[ω（x+θ）+class="stub"π
3
]，
∵y=f（x+θ）是周期为π的偶函数，0＜θ＜class="stub"π
2
，
∴ω=2，2θ+class="stub"π
3
=kπ+class="stub"π
2
∈（class="stub"π
3
，class="stub"4π
3
），
∴k=0，θ=class="stub"π
12
．
（2））∵g（x）=f（3x）=2
3
sin（3ωx+class="stub"π
3
）在（-class="stub"π
2
，class="stub"π
3
）上是增函数，
∴由2kπ-class="stub"π
2
≤3ωx+class="stub"π
3
≤2kπ+class="stub"π
2
（k∈Z），ω＞0得：
2kπ-class="stub"5π
6
3ω
≤x≤
2kπ+class="stub"π
6
3ω
（k∈Z），
∵f（3x）=2
3
sin（3ωx+class="stub"π
3
）在（-class="stub"π
2
，class="stub"π
3
）上是增函数，
∴class="stub"π
3
≤
class="stub"π
6
3ω
，
-class="stub"5π
6
3ω
≤-class="stub"π
2
，ω＞0
∴0＜ω≤class="stub"1
6
．
∴ωmax=class="stub"1
6
．
当ω=class="stub"1
6
时，f（x）=2
3
sin（class="stub"1
6
x+class="stub"π
3
），f（3x）=2
3
sin（class="stub"1
2
x+class="stub"π
3
）．
∵x∈[0，π]，
∴class="stub"1
2
x+class="stub"π
3
∈[class="stub"π
3
，class="stub"5π
6
]，
∴class="stub"1
2
≤sin（class="stub"1
2
x+class="stub"π
3
）≤1．
∴
3
≤2
3
sin（class="stub"1
6
x+class="stub"π
3
）≤2
3
．
∴当x∈[0，π]，f（3x）=2
3
sin（class="stub"1
2
x+class="stub"π
3
）∈[
3
，2
3
]．

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