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证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u，v满足1≤uv＜1+52-数学

题目简介

证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u，v满足1≤uv＜1+52-数学

题目详情

证明：对任意三角形，一定存在两条边，它们的长u，v满足1≤
u
v
＜
1+
5
2
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：设任意△ABC的三边长为a，b，c，不妨设a＞b＞c．若结论不成立，则必有class="stub"a
b
 ≥ 
1+ 
5
2
①class="stub"b
c
≥
1+ 
5
2
．②
记b=c+s，a=b+t=c+s+t，显然s，t＞0代入得
class="stub"c+s+t
c+s
≥
1+ 
5
2
，
1+ class="stub"s
c
+ class="stub"t
c
1+ class="stub"s
c
≥
1+ 
5
2
，
令x=class="stub"s
c
，y=class="stub"t
c
则class="stub"1+x+y
1+x
≥
1+ 
5
2
．③
由a＜b＜c，得c+s+t＜c+s+c，即t＜c，于是．y=class="stub"t
c
＜1
由②得class="stub"b
c
= class="stub"c+s
c
=1+x≥
1+ 
5
2
，④
由③，④得y≥（
1+ 
5
2
-1）（1+x）≥
5-1
2
• 
1+ 
5
2
=1，
此式与y＜1矛盾．从而命题得证．

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