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> 已知数列{an}中,a1=1,a2=14,且an+1=(n-1)ann-an(n=2,3,4,…)(1)求a3、a4的值;(2)设bn=1an+1-1(n∈N*),试用bn表示bn+1并求{bn}的通
已知数列{an}中,a1=1,a2=14,且an+1=(n-1)ann-an(n=2,3,4,…)(1)求a3、a4的值;(2)设bn=1an+1-1(n∈N*),试用bn表示bn+1并求{bn}的通
题目简介
已知数列{an}中,a1=1,a2=14,且an+1=(n-1)ann-an(n=2,3,4,…)(1)求a3、a4的值;(2)设bn=1an+1-1(n∈N*),试用bn表示bn+1并求{bn}的通
题目详情
已知数列{a
n
} 中,a
1
=1,a
2
=
1
4
,且
a
n+1
=
(n-1)
a
n
n-
a
n
(n=2,3,4,…)
(1)求a
3
、a
4
的值;
(2)设b
n
=
1
a
n+1
-1
(n∈N
*
),试用b
n
表示b
n+1
并求{b
n
} 的通项公式;
(3)设c
n
=
sin3
cos
b
n
•cos
b
n+1
(n∈N
*
),求数列{c
n
}的前n项和S
n
.
题型:解答题
难度:中档
来源:安庆模拟
答案
(1)∵数列{an} 中,a1=1,a2=
class="stub"1
4
,
且
a
n+1
=
(n-1)
a
n
n-
a
n
(n=2,3,4,…),
∴
a
3
=
(2-1)
a
2
2-
a
2
=
class="stub"1
4
2-
class="stub"1
4
=
class="stub"1
7
,
a
4
=
(3-1)
a
3
3-
a
3
=
2×
class="stub"1
7
3-
class="stub"1
7
=
class="stub"1
10
,
∴
a
3
=
class="stub"1
7
,
a
4
=
class="stub"1
10
.…(3分)
(2)当n≥2时,
class="stub"1
a
n+1
-1=
n-
a
n
(n-1)
a
n
-1=
n(1-
a
n
)
(n-1)
a
n
=
class="stub"n
n-1
(
class="stub"1
a
n
-1)
,
∴当n≥2时,
b
n
=
class="stub"n
n-1
b
n-1
,
故
b
n+1
=
class="stub"n+1
n
b
n
,n∈
N
*
,
累乘得bn=nb1,
∵b1=3,∴bn=3n,n∈N*.…(8分)
(3)∵
c
n
=
class="stub"sin3
cos
b
n
•cos
b
n+1
=
sin(3n+3-3n)
cos(3n+3)•cos3n
=tan(3n+3)-tan3n
,
∴Sn=c1+c2+…+cn
=(tan6-tan3)+(tan9-tan6)+…+(tan(3n+3)-tan3n)
=tan(3n+3)-tan3.…(13分)
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∴当n≥2时,bn=
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=
∴Sn=c1+c2+…+cn
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