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已知数列{an}中，a1=13，an•an-1=an-1-an（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足bn=1an（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{1nbn}的前n项和为Tn，

题目简介

已知数列{an}中，a1=13，an•an-1=an-1-an（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足bn=1an（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列{1nbn}的前n项和为Tn，

题目详情

已知数列{an}中，a1=
1
3
，an•an-1=an-1-an（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
1
nbn
}的前n项和为Tn，证明Tn＜
3
4
-
1
n+2
．
题型：解答题难度：中档来源：崇文区一模

答案

（I）当n=1时，b1=class="stub"1
a1
=3，
当n≥2时，bn-bn-1=class="stub"1
an
-class="stub"1
an-1
=
an-1-an
an•an-1
=1，
∴数列{bn}是首项为3，公差为1的等差数列，
∴通项公式为bn=n+2；（5分）
（II）∵class="stub"1
nbn
=class="stub"1
n(n+2)
，
∴Tn=class="stub"1
1•3
+class="stub"1
2•4
+class="stub"1
3•5
++class="stub"1
n(n+2)

=class="stub"1
2
[(1-class="stub"1
3
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
4
)+(class="stub"1
3
-class="stub"1
5
)++(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+2
)]
=class="stub"1
2
[class="stub"3
2
-(class="stub"1
n+1
+class="stub"1
n+2
)]
=class="stub"1
2
[class="stub"3
2
-class="stub"2n+3
(n+1)(n+2)
]
∵class="stub"2n+3
(n+1)(n+2)
＞class="stub"2n+2
(n+1)(n+2)
=class="stub"2
n+2

∴-class="stub"2n+2
(n+1)(n+2)
＜-class="stub"2
n+2

∴class="stub"1
2
[class="stub"3
2
-class="stub"2n+3
(n+1)(n+2)
＜class="stub"1
2
[class="stub"3
2
-class="stub"2
n+2
]=class="stub"3
4
-class="stub"1
n+2

∴Tn＜class="stub"3
4
-class="stub"1
n+2
．（13分）

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