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> 某企业为加大对新产品的推销力度,决定从今年起每年投入100万元进行广告宣传,以增加新产品的销售收入.已知今年的销售收入为250万元,经市场调查,预测第n年与第n-1年销售收-数学
某企业为加大对新产品的推销力度,决定从今年起每年投入100万元进行广告宣传,以增加新产品的销售收入.已知今年的销售收入为250万元,经市场调查,预测第n年与第n-1年销售收-数学
题目简介
某企业为加大对新产品的推销力度,决定从今年起每年投入100万元进行广告宣传,以增加新产品的销售收入.已知今年的销售收入为250万元,经市场调查,预测第n年与第n-1年销售收-数学
题目详情
某企业为加大对新产品的推销力度,决定从今年起每年投入100万元进行广告宣传,以增加新产品的销售收入.已知今年的销售收入为250万元,经市场调查,预测第n年与第n-1年销售收入a
n
与a
n-1
万元满足关系式:a
n
=a
n-1
+
500
2
n
-100.
(1)设今年为第一年,求第n年的销售收入a
n
;
(2)依上述预测,该企业前几年的销售收入总和S
n
最大.
题型:解答题
难度:中档
来源:永州一模
答案
(1)题意可知
a
n
-
a
n-1
=
class="stub"500
2
n
-100
.
a
n-1
-
a
n-2
=
class="stub"500
2
n-1
-100
.
…
a
3
-
a
2
=
class="stub"500
2
3
-100
.
a
2
-
a
1
=
class="stub"500
2
2
-100
.
a
1
=250=
class="stub"500
2
.
以上各式相加得:
a
n
=500(
class="stub"1
2
+
class="stub"1
2
2
+…+
class="stub"1
2
n
)-100(n-1)
=
500•
class="stub"1
2
(1-
class="stub"1
2
n
)
1-
class="stub"1
2
-100n+100
=
500-
class="stub"500
2
n
-100(n-1)
(2)要求销售收入总和Sn的最大值,即求年销售收入大于零的所有年销售收入的和.
∵an=
500-
class="stub"500
2
n
-100(n-1)
.
要使an≥0,
即使
500-
class="stub"500
2
n
-100(n-1)
≥0,
也就是使
class="stub"1
2
n
+
class="stub"n-1
5
≤1.
令bn=
class="stub"1
2
n
+
class="stub"n-1
5
,
则有bn-bn-1=
class="stub"1
2
n
+
class="stub"n-1
5
-
class="stub"1
2
n-1
-
class="stub"n-2
5
=
class="stub"1
5
-
class="stub"1
2
n
.
显然,当n≥3时,bn>bn-1,
而b5<1,b6>1
∴a5>0,a6<0
∴该企业前5年的销售收入总和最大.
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