已知数列{an}中，a1=1，Sn其前n项和，且an+1=2Sn+n2-n+1，①设bn=an+1-an，求数列{bn}的前n项和Tn；②求数列{an}的通项公式．-数学

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已知数列{a_n}中，a₁=1，S_n其前n项和，且a_n+1=2S_n+n²-n+1，
①设b_n=a_n+1-a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n；
②求数列{a_n}的通项公式．

题型：解答题难度：中档来源：广元一模

答案

①∵an+1=2Sn+n2-n+1，
∴n≥2时，an=2Sn-1+（n-1）2-（n-1）+1，
两式相减可得an+1-an=2an+2n-2，
∵a1=1，∴a2=3，也满足上式，怎么
∴an+1-3an=2n-2
∴n≥2时，an-3an-1=2（n-1）-2
∵bn=an+1-an，∴两式相减可得，n≥2时，bn-3bn-1=2
∴bn+1=3（bn-1+1）
∵b1+1=3≠0，∴{bn+1}是以3为公比，3为首项的等比数列
∴bn+1=3n，
∴bn=3n-1，
∴Tn=

3(1-3n)

1-3

-n=class="stub"1

•3n+1-n-class="stub"3

；
②由①知，an+1-an=3n-1
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=30+31+…+3n-1-（n-1）=class="stub"1

(3n+1)-n

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已知数列{an}中，a1=1，Sn其前n项和，且an+1=2Sn+n2-n+1，①设bn=an+1-an，求数列{bn}的前n项和Tn；②求数列{an}的通项公式．-数学

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