已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x的方程的两根，且a1=1．（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn；（3）若bn﹣mSn＞0对任意的n∈N*都成立，求m的取值范围

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已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程的两根，且a₁=1．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若b_n﹣mS_n＞0对任意的n∈N*都成立，求m的取值范围．

题型：解答题难度：中档来源：天津月考题

答案

解：（1）∵an+an+1=2n，
∴an+1﹣2n+1=（2n﹣an）﹣2n+1
=﹣an+2n（1﹣）=
∴=﹣1，
∴{an﹣2n}是等比数列，
又a1﹣=，q=﹣1
∴an=[2n﹣（﹣1）n]．
（2）Sn=a1+a2+…+an=[（2+22+…+2n）﹣（（﹣1）+（﹣1）2+…+（﹣1）n）]

（3）∵an，an+1是关于x的方程的两根，
∴bn=anan+1，bn=[2n﹣（﹣1）n][2n+1﹣（﹣1）n+1]
=[2n+1﹣（﹣2）n﹣1]
∵bn﹣msn＞0，
∴，
当n为奇数时，[22n+1+2n﹣1]﹣（2n+1﹣1）＞0，
∴m＜（2n+1）对n∈{奇数}都成立，
∴m＜1．
当n为偶数时，[22n+1﹣2n﹣1]﹣（2n+1﹣2）＞0，[22n+1﹣2n﹣1]﹣（2n﹣1）＞0，
∴m＜（2n+1+1）对n∈{偶数}都成立，
∴m＜．
综上所述，m的取值范围为m＜1．

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已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x的方程的两根，且a1=1．（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列{an}的前n项和Sn；（3）若bn﹣mSn＞0对任意的n∈N*都成立，求m的取值范围

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