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> 已知数列{an}的相邻两项an,an+1是关于x的方程的两根,且a1=1.(1)求证:数列是等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn;(3)若bn﹣mSn>0对任意的n∈N*都成立,求m的取值范围
已知数列{an}的相邻两项an,an+1是关于x的方程的两根,且a1=1.(1)求证:数列是等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn;(3)若bn﹣mSn>0对任意的n∈N*都成立,求m的取值范围
题目简介
已知数列{an}的相邻两项an,an+1是关于x的方程的两根,且a1=1.(1)求证:数列是等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn;(3)若bn﹣mSn>0对任意的n∈N*都成立,求m的取值范围
题目详情
已知数列{a
n
}的相邻两项a
n
,a
n+1
是关于x的方程
的两根,且a
1
=1.
(1)求证:数列
是等比数列;
(2)求数列{a
n
}的前n项和S
n
;
(3)若b
n
﹣mS
n
>0对任意的n∈N*都成立,求m的取值范围.
题型:解答题
难度:中档
来源:天津月考题
答案
解:(1)∵an+an+1=2n,
∴an+1﹣
2n+1=(2n﹣an)﹣
2n+1
=﹣an+2n(1﹣
)=
∴
=﹣1,
∴{an﹣
2n}是等比数列,
又a1﹣
=
,q=﹣1
∴an=
[2n﹣(﹣1)n].
(2)Sn=a1+a2+…+an=
[(2+22+…+2n)﹣((﹣1)+(﹣1)2+…+(﹣1)n)]
(3)∵an,an+1是关于x的方程
的两根,
∴bn=anan+1,bn=
[2n﹣(﹣1)n][2n+1﹣(﹣1)n+1]
=
[2n+1﹣(﹣2)n﹣1]
∵bn﹣msn>0,
∴
,
当n为奇数时,
[22n+1+2n﹣1]﹣
(2n+1﹣1)>0,
∴m<
(2n+1)对n∈{奇数}都成立,
∴m<1.
当n为偶数时,
[22n+1﹣2n﹣1]﹣
(2n+1﹣2)>0,
[22n+1﹣2n﹣1]﹣
(2n﹣1)>0,
∴m<
(2n+1+1)对n∈{偶数}都成立,
∴m<
.
综上所述,m的取值范围为m<1.
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题目简介
已知数列{an}的相邻两项an,an+1是关于x的方程的两根,且a1=1.(1)求证:数列是等比数列;(2)求数列{an}的前n项和Sn;(3)若bn﹣mSn>0对任意的n∈N*都成立,求m的取值范围
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(1)求证:数列
(2)求数列{an}的前n项和Sn;
(3)若bn﹣mSn>0对任意的n∈N*都成立,求m的取值范围.
答案
∴an+1﹣
=﹣an+2n(1﹣
∴
∴{an﹣
又a1﹣
∴an=
(2)Sn=a1+a2+…+an=
(3)∵an,an+1是关于x的方程
∴bn=anan+1,bn=
=
∵bn﹣msn>0,
∴
当n为奇数时,
∴m<
∴m<1.
当n为偶数时,
∴m<
∴m<
综上所述,m的取值范围为m<1.