首页 > 已知抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过焦点F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求OA•OB的值；（2）设AF=λ•FB，求△ABO的面积S的最小值；（3）在（2）的条件下若S≤5，求

已知抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过焦点F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求OA•OB的值；（2）设AF=λ•FB，求△ABO的面积S的最小值；（3）在（2）的条件下若S≤5，求

题目简介

已知抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过焦点F的直线l与C交于A，B两点，O为坐标原点．（1）求OA•OB的值；（2）设AF=λ•FB，求△ABO的面积S的最小值；（3）在（2）的条件下若S≤5，求

题目详情

已知抛物线C：y2=4x，F是C的焦点，过焦点F的直线l与C交于 A，B两点，O为坐标原点．
（1）求
OA
•
OB
的值；
（2）设
AF
=λ•
FB
，求△ABO的面积S的最小值；
（3）在（2）的条件下若S≤
5
，求λ的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）根据抛物线的方程可得焦点F（1，0），设直线l的方程为x=my+1，
将其与C的方程联立，消去x可得y2-4my-4=0．
设A、B点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（y1＞0＞y2），则y1y2=-4．
因为y12=4x1，y22=4x2，所以x1x2=class="stub"1
16
y12y22=1，
故
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=-3    …（4分）
（2）因为
AF
=λ•
FB
，所以（1-x1，-y1）=λ（x2-1，y2），
即  1-x1=λx2-λ①-y1=λy2②
又y12=4x1  ③，y22=4x2，④，由②③④消去y1，y2后，得到x1=λ2x2，将其代入①，
注意到λ＞0，解得x2=class="stub"1
λ
．从而可得y2=-class="stub"2
λ
，y1=2
λ
，故△OAB的面积S=class="stub"1
2
|OF|•|y1-y2|=
λ
+class="stub"1
λ

因为
λ
+class="stub"1
λ
≧2恒成立，故△OAB的面积S的最小值是2…（8分）．
（3）由 
λ
+class="stub"1
λ
≤
5
解之得
3-
5
2
≤λ≤
3+
5
2
  …（12分）

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