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已知：a＞0，b＞0，a+b=1，（1）求证：a+12+b+12≤2；（2）求：1a+1b+1ab的最小值．-数学

题目简介

已知：a＞0，b＞0，a+b=1，（1）求证：a+12+b+12≤2；（2）求：1a+1b+1ab的最小值．-数学

题目详情

已知：a＞0，b＞0，a+b=1，
（1）求证：
a+
1
2
+
b+
1
2
≤2； 
（2）求：
1
a
+
1
b
+
1
ab
的最小值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）证明：因为1=a+b≥2
ab
，所以ab≤class="stub"1
4
，所以  class="stub"1
2
 （a+b）+ab+class="stub"1
4
≤1，
所以
(a+class="stub"1
2
)(b+class="stub"1
2
)
≤1，从而有  2+2
(a+class="stub"1
2
)(b+class="stub"1
2
)
≤4，
即：（a+class="stub"1
2
 ）+（b+class="stub"1
2
 ）+2
(a+class="stub"1
2
)(b+class="stub"1
2
)
≤4，
即：（
a+class="stub"1
2
+
b+class="stub"1
2
 ）2≤4，所以原不等式成立．
（2）class="stub"1
a
+class="stub"1
b
+class="stub"1
ab
=class="stub"2
ab
，
∵a＞0，b＞0，a+b=1，
∴
ab
≤class="stub"a+b
2
=class="stub"1
2
，即ab≤class="stub"1
4
当且仅当a=b=class="stub"1
2
是等号成立
∴class="stub"1
a
+class="stub"1
b
+class="stub"1
ab
=class="stub"2
ab
≥8，即当a=b=class="stub"1
2
时，class="stub"1
a
+class="stub"1
b
+class="stub"1
ab
的最小值为8．

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