首页 > 设数列{an}满足：a1=56，且以a1，a2，a3，…，an为系数的一元二次方程an-1x2-anx+1=0（n∈N*，n≥2）都有根α，β，且两个根α，β满足3α-αβ+3β=1．（1）求数列{a

设数列{an}满足：a1=56，且以a1，a2，a3，…，an为系数的一元二次方程an-1x2-anx+1=0（n∈N*，n≥2）都有根α，β，且两个根α，β满足3α-αβ+3β=1．（1）求数列{a

题目简介

设数列{an}满足：a1=56，且以a1，a2，a3，…，an为系数的一元二次方程an-1x2-anx+1=0（n∈N*，n≥2）都有根α，β，且两个根α，β满足3α-αβ+3β=1．（1）求数列{a

题目详情

设数列{an}满足：a1=
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，且以a1，a2，a3，…，an为系数的一元二次方程an-1x2-anx+1=0（n∈N*，n≥2）都有根α，β，且两个根α，β满足3α-αβ+3β=1．
（1）求数列{an}的通项an；
（2）求{an}的前n项和Sn．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

由3α-αβ+3β=1及韦达定理得3(α+β)-αβ=3
an
an-1
-class="stub"1
an-1
=1⇒an=class="stub"1
3
an-1+class="stub"1
3
(n∈N*，n≥2)．
（1）设有λ满足an+λ=class="stub"1
3
(an-1+λ)⇒λ=-class="stub"1
2
，即an-class="stub"1
2
=class="stub"1
3
(an-1-class="stub"1
2
)．
所以数列{an-class="stub"1
2
]是以（a1-class="stub"1
2
）为首项，class="stub"1
3
为公比的等比数列．
所以an-class="stub"1
2
=(a1-class="stub"1
2
)•(class="stub"1
3
)n-1⇒an=(class="stub"1
3
)n+class="stub"1
2
（n∈N*）
（2）Sn=a1+a2++an=class="stub"1
3
+(class="stub"1
3
)2++(class="stub"1
3
)n+class="stub"n
2
=class="stub"n+1
2
-class="stub"1
2
•(class="stub"1
3
)n

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