已知命题p:x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根,不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1,1]恒成立;命题q:不等式ax2+2x-1>0有解,若命题p是真命题,命题q是假命题

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已知命题p:x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根,不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1,1]恒成立;命题q:不等式ax2+2x-1>0有解,若命题p是真命题,命题q是假命题

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已知命题p:x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根,不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1,1]恒成立;命题q:不等式ax2+2x-1>0有解,若命题p是真命题,命题q是假命题,求a的取值范围.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

∵x1,x2是方程x2-mx-2=0的两个实根
x1+x2=m
x1x2=-2

∴|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2

=
m2+8

∴当m∈[-1,1]时,|x1-x2|max=3,
由不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1,1]恒成立.
可得:a2-5a-3≥3,∴a≥6或a≤-1,
∴命题p为真命题时a≥6或a≤-1,
命题q:不等式ax2+2x-1>0有解.
①当a>0时,显然有解.
②当a=0时,2x-1>0有解
③当a<0时,∵ax2+2x-1>0有解,
∴△=4+4a>0,∴-1<a<0,
从而命题q:不等式ax2+2x-1>0有解时a>-1.
又命题q是假命题,
∴a≤-1,
故命题p是真命题且命题q是假命题时,
a的取值范围为a≤-1.

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