首页 > 对于任意的复数z=x+yi（x，y∈R），定义运算P（z）=x2[cos（yπ）+isin（yπ）]．（1）集合A={ω|ω=P（z），|z|≤1，Rez，Imz均为整数}，试用列举法写出集合A；（2

对于任意的复数z=x+yi（x，y∈R），定义运算P（z）=x2[cos（yπ）+isin（yπ）]．（1）集合A={ω|ω=P（z），|z|≤1，Rez，Imz均为整数}，试用列举法写出集合A；（2

题目简介

对于任意的复数z=x+yi（x，y∈R），定义运算P（z）=x2[cos（yπ）+isin（yπ）]．（1）集合A={ω|ω=P（z），|z|≤1，Rez，Imz均为整数}，试用列举法写出集合A；（2

题目详情

对于任意的复数z=x+yi（x，y∈R），定义运算P（z）=x2[cos（yπ）+isin（yπ）]．
（1）集合A={ω|ω=P（z），|z|≤1，Rez，Imz均为整数}，试用列举法写出集合A；
（2）若z=2+yi（y∈R），P（z）为纯虚数，求|z|的最小值；
（3）直线l：y=x-9上是否存在整点（x，y）（坐标x，y均为整数的点），使复数z=x+yi经运算P后，P（z）对应的点也在直线l上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）
z=x+yi
|z|≤1
⇒x2+y2≤1
由于x，y∈Z，得
x=±1
y=0
，
x=0
y=±1
，
x=0
y=0

∴P（±1）=1，P（±i）=0，P（0）=0，
∴A={0，1}
（2）若z=2+yi（y∈R），则P（z）=4[cos（yπ）+isin（yπ）]
若P（z）为纯虚数，则
cosyπ=0
sinyπ≠0

∴y=k+class="stub"1
2
，k∈Z
∴|z|=
22+y2
=
(k+class="stub"1
2
)2+4
，k∈Z
∴当k=0或-1时，|z|min=
17
2
．
（3）P（z）对应点坐标为（x2cos（yπ），x2sin（yπ））
由题意：
y=x-9
x2sinyπ=x2cosyπ-9
x，y∈Z
得x2sin（xπ-9π）=x2cos（xπ-9π）-9
所以 x2sinxπ=x2cosxπ+9∵x∈Z
∴①当x=2k，k∈Z时，得x2+9=0不成立；
②当x=2k+1，k∈Z时，得x2-9=0∴x=±3成立
此时
x=3
y=-6
或 
x=-3
y=-12
即z=3-6i或z=-3-12i．

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