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已知函数f（x）=23sinωxcosωx-2sin2ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π，（Ⅰ）当x∈[0，π2]时，求函数f（x）的取值范围；（Ⅱ）若α是锐角，且f（a2-π6）=65，求cosα的

题目简介

已知函数f（x）=23sinωxcosωx-2sin2ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π，（Ⅰ）当x∈[0，π2]时，求函数f（x）的取值范围；（Ⅱ）若α是锐角，且f（a2-π6）=65，求cosα的

题目详情

已知函数f（x）=2
3
sinωxcosωx-2sin2ωx+1（ω＞0）的最小正周期为π，
（Ⅰ）当x∈[0，
π
2
]时，求函数f（x）的取值范围；
（Ⅱ）若α是锐角，且f（
a
2
-
π
6
）=
6
5
，求cosα的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）函数f（x）=2
3
sinωxcosωx-2sin2ωx+1
=
3
sin2ωx-2×class="stub"1-cos2ωx
2
+1
=2sin（2ωx+class="stub"π
6
）．
因为函数f（x）的最小正周期为π，即class="stub"2π
2ω
=π，∴ω=1．
∴f（x）=2sin（2x+class="stub"π
6
）．
∵x∈[0，class="stub"π
2
]，∴2x+class="stub"π
6
∈[class="stub"π
6
，class="stub"7π
6
]，2sin（2x+class="stub"π
6
）∈[-1，2]．
∴f（x）的取值范围为[-1，2]．
（II）由（1）可知f（class="stub"a
2
-class="stub"π
6
）=2sin（α-class="stub"π
6
）=class="stub"6
5
，
∴sin（α-class="stub"π
6
）=class="stub"3
5
，∵α是锐角
∴cos(α-class="stub"π
6
)=class="stub"4
5
，
∴cosα=cos[（α-class="stub"π
6
）+class="stub"π
6
]
=cos（α-class="stub"π
6
）cosclass="stub"π
6
-sin（α-class="stub"π
6
）sinclass="stub"π
6

=class="stub"4
5
×
3
2
-class="stub"3
5
×class="stub"1
2
=
4
3
-3
10
．

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