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在m（m≥2）个不同数的排列P1P2P3…Pm中，若1≤i＜j≤m时，Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n+1）n（

题目简介

在m（m≥2）个不同数的排列P1P2P3…Pm中，若1≤i＜j≤m时，Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n+1）n（

题目详情

在m（m≥2）个不同数的排列P1P2P3…Pm中，若1≤i＜j≤m时，Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序．一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列（n+1）n（n-1）…321的逆序数为an，如排列21的逆序数a1=1，排列4321的逆序数a3=6．
（1）求a4、a5，并写出an的表达式（用n表示，不要求证明）；
（2）令bn=
an
an+1
+
an+1
an
-2，求b1+b2+…bn并证明b1+b2+…bn＜3，n=1，2，…．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由排列21的逆序数a1=1，排列4321的逆序数a3=6，得a4=4+3+2+1=10，a5=5+4+3+2+1=15，
∴an=n+（n-1）+…+2+1=
n(n+1)
2
；

（2）∵an=n+（n-1）+…+2+1=
n(n+1)
2
，bn=
an
an+1
+
an+1
an
-2，
∴bn=
an
an+1
+
an+1
an
-2=class="stub"n
n+2
+class="stub"n+2
n
-2=class="stub"2
n
-class="stub"2
n+2
，
∴b1+b2+…+bn=2[（class="stub"1
1
-class="stub"1
3
）+（class="stub"1
2
-class="stub"1
4
）+…+（class="stub"1
n
-class="stub"1
n+2
）]=3-class="stub"2
n+1
-class="stub"2
n+2
；
又∵n=1，2，…，
∴b1+b2+…bn=3-class="stub"2
n+1
-class="stub"2
n+2
＜3．

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