国际上钻石的重量计量单位为克拉，已知某种钻石的价值v（美元）与其重量w（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．（I）写出v关于w的函数关系式；（II）若-数学

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国际上钻石的重量计量单位为克拉，已知某种钻石的价值v（美元）与其重量w（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．
（I）写出v关于w的函数关系式；
（II）若把一颗钻石切割成重量比为1：x（x≥1）的两颗钻石，价值损失的百分率为y，写出y关于x的函数关系式；
（III）试证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1：1切割，价值损失的百分率最大．
（注：价值损失的百分率=

原有价值-现有价值

原有价值

×100%，在切割过程中的重量损耗忽略不计）

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（Ⅰ）依题意设v=kw2，又当w=3时，v=54000，∴k=6000，故v=kw2=6000w2（w＞0）；
（II）设这颗钻石的重量为a克拉，则按重量比为1：x切割后的价值为6000（class="stub"1

1+x

a）2+6000（class="stub"x

1+x

a）2，
价值损失为6000a2-[6000（class="stub"1

1+x

a）2+6000（class="stub"x

1+x

a）2]
∴价值损失的百分率为y={6000a2-[6000（class="stub"1

1+x

a）2+6000（class="stub"x

1+x

a）2]}÷6000a2×100%=class="stub"2x

(1+x)2

∴y=class="stub"2x

(1+x)2

（x≥1）；
（III）证明：由（II）y=class="stub"2x

(1+x)2

=class="stub"2

class="stub"1

+2+x

∵x≥1，∴class="stub"1

+x≥2
∴class="stub"2

class="stub"1

+2+x

≤class="stub"1

，等号当且仅当x=1时成立，此时y有最大值class="stub"1

．
故当重量比为1：1时，价值损失的百分率达到最大．

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国际上钻石的重量计量单位为克拉，已知某种钻石的价值v（美元）与其重量w（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元．（I）写出v关于w的函数关系式；（II）若-数学

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