已知抛物线C：y=－x2+mx－1和点A(3，0)，B(0，3)，求抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件。-高三数学

题目简介

已知抛物线C：y=－x²+mx－1和点A(3，0)，B(0，3)，求抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件。

题型：解答题难度：中档来源：不详

抛物线y=－x2+mx－1和线段AB有两个不同交点的充要条件是3＜m≤

①必要性：
由已知得，线段AB的方程为y=－x+3(0≤x≤3)
由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点，
所以方程组

*有两个不同的实数解。
消元得：x2－(m+1)x+4=0(0≤x≤3)
设f(x)=x2－(m+1)x+4,则有

②充分性：
当3＜x≤

时，
x1=

∴方程x2－(m+1)x+4=0有两个不等的实根x1,x2,且0＜x1＜x2≤3,方程组*有两组不同的实数解。
因此，抛物线y=－x2+mx－1和线段AB有两个不同交点的充要条件是3＜m≤

。