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已知数列{an}、{bn}满足bn=,求证:数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列。-高三数学
题目简介
已知数列{an}、{bn}满足bn=,求证:数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列。-高三数学
题目详情
已知数列{
a
n
}、{
b
n
}满足
b
n
=
,求证:数列{
a
n
}成等差数列的充要条件是数列{
b
n
}也是等差数列。
题型:解答题
难度:中档
来源:不详
答案
证明略
①必要性:
设{
an
}成等差数列,公差为
d
,∵{
an
}成等差数列
从而
bn
+1-
bn
=
a
1+
n
·
d
-
a
1-(
n
-1)
d
=
d
为常数。
故{
bn
}是等差数列,公差为
d
。
②充分性:
设{
bn
}是等差数列,公差为
d
′,则
bn
=(
n
-1)
d
′
∵
bn
(1+2+…+
n
)=
a
1+2
a
2+…+
nan
①
bn
-1(1+2+…+
n
-1)=
a
1+2
a
2+…+(
n
-1)
an
②
①-②得:
nan
=
bn
-1
从而得
an
+1-
an
=
d
′为常数,故{
an
}是等差数列。
综上所述,数列{
an
}成等差数列的充要条件是数列{
bn
}也是等差数列。
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设含有三个实数的集合可表示为
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若,则的值为()A.0B.1C.D.1或-高三数
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题目简介
已知数列{an}、{bn}满足bn=,求证:数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列。-高三数学
题目详情
答案
设{an}成等差数列,公差为d,∵{an}成等差数列
从而bn+1-bn=a1+n·
故{bn}是等差数列,公差为
②充分性:
设{bn}是等差数列,公差为d′,则bn=(n-1)d′
∵bn(1+2+…+n)=a1+2a2+…+nan ①
bn-1(1+2+…+n-1)=a1+2a2+…+(n-1)an ②
①-②得:nan=
从而得an+1-an=
综上所述,数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列。