如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连接CD交AB于点E．求证：（1）PD=PE；（2）PE2=PA·PB．-九年级数学

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如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连接CD交AB于点E．求证：
（1）PD=PE；
（2）PE²=PA·PB．

题型：证明题难度：中档来源：湖北省期中题

答案

证明：（1）连接OC、OD，
∵C是半圆ACB的中点
∴∠COA=∠COB
∵∠COA+∠COB=180°
∴∠COA=∠COB=90°
∴OD⊥PD，OC⊥AB．
∴∠PDE=90°﹣∠ODE，∠PED=∠CEO=90°﹣∠C，
又∵OC=OD，
∴∠C=∠ODE，
∴∠PDE=∠PED．
∴PE=PD.
（2）连接AD、BD，
∴∠ADB=90°．
∵∠BDP=90°﹣∠ODB，∠A=90°﹣∠OBD，
又∵∠OBD=∠ODB，
∴∠BDP=∠A；
△PDB∽△PAD．
∴，
∴PD2=PA·PB．
∴PE2=PA·PB．

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如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上任意一点，C为半圆ACB的中点，PD切⊙O于点D，连接CD交AB于点E．求证：（1）PD=PE；（2）PE2=PA·PB．-九年级数学

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