如图,面ABEF⊥面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠BAF=90°,BCAD,BEAF.(Ⅰ)求证:C、D、E、F四点共面;(Ⅱ)若BA=BC=BE,求二面角A-ED-B的
(Ⅰ)证明:∵面ABEF⊥面ABCD,AF⊥AB, ∴AF⊥面ABCD,∴以A为原点,以AB,AD,AF所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,不妨设AB=a,AD=2b,AF=2c,则,∴,,∴,∴,∵,∴DF∥CE,∴C、D、E、F四点共面.(Ⅱ)解:设AB=1,则BC=BE=1,∴,设平面AED的法向量为,由,得,,设平面BED的法向量为,由,得,,,由图知,二面角A-ED-B为锐角,∴其大小为.
题目简介
如图,面ABEF⊥面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠BAF=90°,BCAD,BEAF.(Ⅰ)求证:C、D、E、F四点共面;(Ⅱ)若BA=BC=BE,求二面角A-ED-B的
题目详情
(Ⅰ)求证:C、D、E、F四点共面;
(Ⅱ)若BA=BC=BE,求二面角A-ED-B的大小.
答案
(Ⅰ)证明:∵面ABEF⊥面ABCD,AF⊥AB,
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,∴
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,得
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,得
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∴AF⊥面ABCD,
∴以A为原点,以AB,AD,AF所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,
不妨设AB=a,AD=2b,AF=2c,
则
∴
∴
∵
∴DF∥CE,
∴C、D、E、F四点共面.
(Ⅱ)解:设AB=1,则BC=BE=1,
∴
设平面AED的法向量为
由
设平面BED的法向量为
由
由图知,二面角A-ED-B为锐角,
∴其大小为