阅读下文,寻找规律:已知x≠1,观察下列各式:(1﹣x)(1+x)=1﹣x2,(1﹣x)(1+x+x2)=1﹣x3,(1﹣x)(1+x+x2+x3)=1﹣x4…(1)填空:(1﹣x)(1+x+x2+x

题目简介

阅读下文,寻找规律:已知x≠1,观察下列各式:(1﹣x)(1+x)=1﹣x2,(1﹣x)(1+x+x2)=1﹣x3,(1﹣x)(1+x+x2+x3)=1﹣x4…(1)填空:(1﹣x)(1+x+x2+x

题目详情

阅读下文,寻找规律:已知x≠1,观察下列各式:
(1﹣x)(1+x)=1﹣x2,(1﹣x)(1+x+x2)=1﹣x3,(1﹣x)(1+x+x2+x3)=1﹣x4…(1)填空:(1﹣x)(1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7)=1﹣x8
(2)观察上式,并猜想:
①(1﹣x)(1+x+x2+…+xn)= _________
②(x﹣1)(x10+x9+…+x+1)= _________
(3)根据你的猜想,计算:
①(1﹣2)(1+2+22+23+24+25)= _________
②1+2+22+23+24+…+22007= _________
题型:探究题难度:中档来源:广东省期中题

答案

解:
(1)由(1﹣x)(1+x)=1﹣x2,
(1﹣x)(1+x+x2)=1﹣x3,
(1﹣x)(1+x+x2+x3)=1﹣x4
可以看出每一个等式左边的最大指数等于右边的最大指数,且左边相当于对右边的因式分解,所以得出规律:
(1﹣x)(1+x+x2+…+xn)=1﹣xn+1.
即:(1﹣x)(1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7)=1﹣x8,
空白处应填:(1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7).
(2)由(1)得出的规律可得:
①(1﹣x)(1+x+x2+…+xn)=1﹣xn+1,
空白处应填:1﹣xn+1②(x﹣1)(x10+x9+…+x+1)=﹣(1﹣x11)=x11﹣1,
空白处应填:x11﹣1.
(3)由(1)得出的规律可得
①(1﹣2)(1+2+22+23+24+25)=1﹣26,
空白处应填1﹣26;
②由(1﹣2)(1+2+22+23+24+…+22007)=1﹣22008
得1+2+22+23+24+…+22007=22008﹣1,
空白处应填22008﹣1.

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