现将连续自然数1至2009按图中的方式排列成一个长方形队列，再用正方形任意框出16个数．（1）设任意一个这样的正方形框中的最小数为n，请用n的代数式表示该框中的16个数，然后填-七年级数学

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现将连续自然数1至2009按图中的方式排列成一个长方形队列，再用正方形任意框出16个数．

（1）设任意一个这样的正方形框中的最小数为n，请用n的代数式表示该框中的16个数，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数中的最小数_________，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数的和_________．（用n的代数式表示）
（2）在图中，要使一个正方形框出的16个数之和分别等于832、2000、2008是否可能？若不可能，请说明理由；若可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．
（3）计算出该长方形队列中，共可框出多少个这样不同的正方形框？

题型：解答题难度：偏难来源：湖南省竞赛题

答案

解：（1）设左上角第一个数为n，
根据相邻之间的关系可以得到右表：
其中最小数为n，最大数为n+24．
这16个数的和为16n+192=16（n+12）；
（2）设①16（n+12）=832，
解得：n=40，
∴框出的16个数之和等于832可能；最小数为40，最大数为40+24=64；
②16（n+12）=2000，
解得：n=113，
∴框出的16个数之和等于2000可能；最小为数为113，最大为数为137；
③16（n+12）=2008，
解得：n=119.75，
∴框出的16个数之和等于2008不可能；
（3）设共有n行，
∵每行有7个数，
∴7n﹣6=2003，n=287，
后3行不能构成正方形，故287﹣3=284行，每行4个，
共284×4=1136．
∴该长方形队列中，共可框出1136个这样不同的正方形框．

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现将连续自然数1至2009按图中的方式排列成一个长方形队列，再用正方形任意框出16个数．（1）设任意一个这样的正方形框中的最小数为n，请用n的代数式表示该框中的16个数，然后填-七年级数学

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