已知tan(π4-α)=13,α∈(0,π4).(1)求f(α)=sin2α-2cos2α1+tanα的值;(2)若β∈(0,π2),且sin(3π4+β)=55,求α+β的值.-数学

题目简介

已知tan(π4-α)=13,α∈(0,π4).(1)求f(α)=sin2α-2cos2α1+tanα的值;(2)若β∈(0,π2),且sin(3π4+β)=55,求α+β的值.-数学

题目详情

已知tan(
π
4
-α)=
1
3
,α∈(0,
π
4
)

(1)求f(α)=
sin2α-2cos2α
1+tanα
的值;
(2)若β∈(0,
π
2
)
,且sin(
4
+β)=
5
5
,求α+β的值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵tan(class="stub"π
4
-α)=class="stub"1
3
,α∈(0,class="stub"π
4
)

tanα=class="stub"1
2

f(α)=
sin2α-2cos2α
1+tanα
=
2sinα•cosα-2cos2α
(1+tanα)(cos2α+sin2α)
=class="stub"2tanα-2
(1+tanα)(1+tan2α)
=-class="stub"8
15
.…7
(2)∵β∈(0,class="stub"π
2
)
,且sin(class="stub"3π
4
+β)=
5
5
class="stub"3π
4
<class="stub"3π
4
+β<class="stub"5π
4

cos(class="stub"3π
4
+β)=class="stub"-2
5

sinβ=sin[(β+class="stub"3π
4
)-class="stub"3π
4
]
=sin(β+class="stub"3π
4
)cosclass="stub"3π
4
-cos(β+class="stub"3π
4
)sinclass="stub"3π
4
=class="stub"1
10

cosβ=class="stub"3
10
.∴tanβ=class="stub"1
3

tan(α+β)=class="stub"tanα+tanβ
1-tanα•tanβ
=1

又∵α+β∈(0,class="stub"π
2
)

α+β=class="stub"π
4
.   …14

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