首页 > 已知tan(π4-α)=13，α∈(0，π4)．（1）求f(α)=sin2α-2cos2α1+tanα的值；（2）若β∈(0，π2)，且sin(3π4+β)=55，求α+β的值．-数学

已知tan(π4-α)=13，α∈(0，π4)．（1）求f(α)=sin2α-2cos2α1+tanα的值；（2）若β∈(0，π2)，且sin(3π4+β)=55，求α+β的值．-数学

题目简介

已知tan(π4-α)=13，α∈(0，π4)．（1）求f(α)=sin2α-2cos2α1+tanα的值；（2）若β∈(0，π2)，且sin(3π4+β)=55，求α+β的值．-数学

题目详情

已知tan(
π
4
-α)=
1
3
，α∈(0，
π
4
)．
（1）求f(α)=
sin2α-2cos2α
1+tanα
的值；
（2）若β∈(0，
π
2
)，且sin(
3π
4
+β)=
5
5
，求α+β的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）∵tan(class="stub"π
4
-α)=class="stub"1
3
，α∈(0，class="stub"π
4
)，
∴tanα=class="stub"1
2
．
∴f(α)=
sin2α-2cos2α
1+tanα
=
2sinα•cosα-2cos2α
(1+tanα)(cos2α+sin2α)
=class="stub"2tanα-2
(1+tanα)(1+tan2α)
=-class="stub"8
15
．…7
（2）∵β∈(0，class="stub"π
2
)，且sin(class="stub"3π
4
+β)=
5
5
∴class="stub"3π
4
＜class="stub"3π
4
+β＜class="stub"5π
4

∴cos(class="stub"3π
4
+β)=class="stub"-2
5
，
∴sinβ=sin[(β+class="stub"3π
4
)-class="stub"3π
4
]=sin(β+class="stub"3π
4
)cosclass="stub"3π
4
-cos(β+class="stub"3π
4
)sinclass="stub"3π
4
=class="stub"1
10
，
∴cosβ=class="stub"3
10
．∴tanβ=class="stub"1
3
．
∴tan(α+β)=class="stub"tanα+tanβ
1-tanα•tanβ
=1，
又∵α+β∈(0，class="stub"π
2
)，
∴α+β=class="stub"π
4
．   …14

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