已知函数，曲线在处的切线过点.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）当时，求的取值范围.-高三数学

题目简介

已知函数

，曲线

在

处的切线过点

.
（Ⅰ）求函数

的解析式；
（Ⅱ）当

时，求

的取值范围.

题型：解答题难度：中档来源：不详

（Ⅰ）f(x)＝lnx＋

; （Ⅱ）f(x)的取值范围是[1，ln5＋

]．

试题分析：（Ⅰ）利用导数的几何含义确定曲线的切线方程的斜率，然后借助切线过点建立等量关系；（Ⅱ）根据函数的定义域，借助求导分析函数的单调性，进而确定函数的最大值和最小值.
试题解析：（Ⅰ）f¢(x)＝

－

＝

．
则f¢(2)＝

，f(2)＝ln2＋

．
则曲线y＝f(x)在(2，f(2))处的切线为y＝

(x－2)＋ln2＋

，
即y＝

x＋m－1＋ln2． 3分
依题意，m－1＋ln2＝ln2，所以m＝1．
故f(x)＝lnx＋

． 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)＝lnx＋

，f¢(x)＝

．
当x∈[

，1]时，f¢(x)≤0，f(x)单调递减，此时，f(x)∈[1，2－ln2]；
当x∈[1，5]时，f¢(x)≥0，f(x)单调递增，此时，f(x)∈[1，ln5＋

]． 10分
因为(ln5＋

)－(2－ln2)＝ln10－

＞lne2－

＝

，
所以ln5＋

＞2－ln2．
因此，f(x)的取值范围是[1，ln5＋

]． 12分