首页 > 给定正整数n和正数M，对于满足条件a12+an+12≤M的所有等差数列a1，a2，a3，…．，试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值．-数学

给定正整数n和正数M，对于满足条件a12+an+12≤M的所有等差数列a1，a2，a3，…．，试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值．-数学

题目简介

给定正整数n和正数M，对于满足条件a12+an+12≤M的所有等差数列a1，a2，a3，…．，试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值．-数学

题目详情

给定正整数 n 和正数 M，对于满足条件a12+an+12≤M 的所有等差数列 a1，a2，a3，…．，试求 S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

设公差为d，an+1=a，
则S=an+1+an+2+…a2n+1是以an+1=a为首项，d为公差的等差数列的前（n+1）项和，
所以S=an+1+an+2+…a2n+1=（n+1）a+
n(n+1)
2
d．
同除以（n+1），得 a+class="stub"nd
2
=class="stub"S
n+1
．
则M≥a12+an+12=(α-nd)2+a2=
class="stub"4
10
(a+class="stub"nd
2
)2+class="stub"1
10
(4a-3nd)2≥class="stub"4
10
(class="stub"S
n+1
)2
因此|S|≤
10
2
（n+1）
M
，
且当 a=class="stub"3
10
M
，d=class="stub"4
10
•class="stub"1
n
M
 时，
S=（n+1）〔class="stub"3
10
M
+class="stub"n
2
•class="stub"4
10
•class="stub"1
n
M
〕
=（n+1）class="stub"5
10
M
=
10
2
（n+1）
M

由于此时4a=3nd，故 a12+an+12=class="stub"4
10
(class="stub"S
n+1
)2=class="stub"4
10
•class="stub"10
4
M=M．
所以，S的最大值为
10
2
（n+1）
M
．

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