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规定Cmx=x(x-1)…(x-m+1)m!，其中x∈R，m是正整数，且C0x=1，这是组合数Cmn（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．（1）求C3-15的值；（2）设x＞0，当x为何值时，C3x

题目简介

规定Cmx=x(x-1)…(x-m+1)m!，其中x∈R，m是正整数，且C0x=1，这是组合数Cmn（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．（1）求C3-15的值；（2）设x＞0，当x为何值时，C3x

题目详情

规定
Cmx
=
x(x-1)…(x-m+1)
m!
，其中x∈R，m是正整数，且
C0x
=1，这是组合数
Cmn
（n、m是正整数，且m≤n）的一种推广．
（1）求
C3-15
的值；
（2）设x＞0，当x为何值时，
C3x
(
C1x
)2
取得最小值？
（3）组合数的两个性质；①
Cmn
=
Cn-mn
；②
Cmn
+
Cm-1n
=
Cmn+1
．是否都能推广到
Cmx
（x∈R，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（1）由题意可得
C3-15
=
(-15)(-16)(-17)
3!
=-680．（4分）
（2）
C3x
(
C1x
)2
=
x(x-1)(x-2)
6x2
=class="stub"1
6
(x+class="stub"2
x
-3)．（6分）
∵x＞0，故有 x+class="stub"2
x
≥2
2
．
当且仅当x=
2
时，等号成立．∴当x=
2
时，
C3x
(
C1x
)2
取得最小值．（8分）
（3）性质①不能推广，例如当x=
2
时，
C1
2
有定义，但
C
2
-1
2
无意义； （10分）
性质②能推广，它的推广形式是
Cmx
+
Cm-1x
=
Cmx+1
，x∈R，m是正整数．（12分）
事实上，当m=1时，有
C1x
+
C0x
=x+1=
C1x+1
．
当m≥2时.
Cmx
+
Cm-1x
=
x(x-1)…(x-m+1)
m!
+
x(x-1)…(x-m-2)
(m-1)!

=
x(x-1)…(x-m+2)
(m-1)!
[class="stub"x-m+1
m
+1]=
x(x-1)…(x-m+2)(x+1)
m !
=
Cmx+1
．（14分）

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