首页 > 如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：于点A、B，交抛物线C2：于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连-九年级

如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：于点A、B，交抛物线C2：于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连-九年级

题目简介

如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：于点A、B，交抛物线C2：于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连-九年级

题目详情

如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：于点A、B，交抛物线C2：于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．
【猜想与证明】
填表：
m
1
2
3

 
 
 
由上表猜想：对任意m（m＞0）均有=　 　．请证明你的猜想．
【探究与应用】
（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为　 　；
（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；
【联想与拓展】
如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为　 　．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

猜想与证明：
填表为：
m
1
2
3




。理由见解析
探究与运用：
（1）。
（2）27。
联想与拓展
。

试题分析：猜想与证明：
当m=1时，1=x2，1=x2，∴x=±2，x=±3。∴AB=4，CD=6。∴。
当m=2时，4=x2，4=x2，∴x=±4，x=±6。∴AB=8，CD=12。∴。
当m=3时，9=x2，9=x2，∴x=±6，x=±9。∴AB=12，CD=18。∴。
探究与证明：
（1）由条件可以得出△AOB与△CQD高相等，就可以得出面积之比等于底之比而得出结论：
（2）分两种情况讨论，当△AOB为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出△AOB的面积，从而求出△CQD的面积，就可以求出其差，当△CQD为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出△CDQ的面积，进而可以求出结论。
解：猜想与证明：
填表为：
m
1
2
3




对任意m（m＞0）均有。证明如下：
将y=m2（m＞0）代入，得x=±2m，
∴A（﹣2m，m2），B（2m，m2）。∴AB=4m。
将y=m2（m＞0）代入，得x=±3m，
∴C（﹣3m，m2），D（3m，m2）。∴CD=6m。
∴。
∴对任意m（m＞0）均有。
探究与运用：
（1）∵O、Q关于直线CD对称，∴PQ=OP。
∵CD∥x轴，∴∠DPQ=∠DPO=90°。∴△AOB与△CQD的高相等。
∵，∴AB=CD。
∵S△AOB=AB•PO，S△CQD=CD•PQ，∴。
（2）当△AOB为等腰直角三角形时，如图，

∴PO=PB=m2，AB=2OP。
∴m2=m4。∴4m2=m4，解得m1=0，m2=﹣2，m3=2。
∵m＞0，∴m=2。
∴OP=4，AB=8，PD=6，CD=12。
∴S△AOB==16，S△CQD==24。
∴S△CQD﹣S△AOB=24﹣16=8。
当△CQD是等腰直角三角形时，如图，

∴PQ=PO=PD=m2，CD=2QP。
∴m2=m4。∴9m2=m4，∴m1=0，m2=﹣3，m3=3。
∵m＞0，∴m=3。
∴OP=6，AB=12，PQ=9，CD=18。
∴S△AOB==54，S△CQD==81。
∴S△CQD﹣S△AOB=81﹣54=27。
联想与拓展：
由猜想与证明可以得知A（﹣2m，m2），D（3m，m2），
∵AE∥y轴，DF∥y轴，∴E点的横坐标为﹣2m，F点的横坐标为3m。
∴y=（﹣2m）2，y=（3m）2，∴y=m2，y=m2。∴E（﹣2m， m2），F（3m， m2）。
∴AE=m2﹣m2=m2，DF=m2﹣m2=m2。
∴S△AEM=×m2•2m=m3，S△DFM=×m2•3m=m3。∴。

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