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> 已知函数f（x）=8ln（1+ex）-9x．（1）证明：函数f（x）对于定义域内任意x1，x2（x1≠x2）都有：f(x1+x22)＜f(x1)+f(x2)2成立．（2）已知△ABC的三个顶点A、B、
已知函数f（x）=8ln（1+ex）-9x．（1）证明：函数f（x）对于定义域内任意x1，x2（x1≠x2）都有：f(x1+x22)＜f(x1)+f(x2)2成立．（2）已知△ABC的三个顶点A、B、
题目简介
已知函数f（x）=8ln（1+ex）-9x．（1）证明：函数f（x）对于定义域内任意x1，x2（x1≠x2）都有：f(x1+x22)＜f(x1)+f(x2)2成立．（2）已知△ABC的三个顶点A、B、
题目详情
已知函数f（x）=8ln（1+e
x
）-9x．
（1）证明：函数f（x）对于定义域内任意x
1
，x
2
（x
1
≠x
2
）都有：
f(
x
1
+
x
2
2
)＜
f(
x
1
)+f(
x
2
)
2
成立．
（2）已知△ABC的三个顶点A、B、C都在函数y=f（x）的图象上，且横坐标依次成等差数列，求证：△ABC是钝角三角形，但不可能是等腰三角形．
题型：解答题
难度：中档
来源：不详
答案
（1）∵f（x）=81n（1+ex）-9x，
∴
f(
x
1
)+f(
x
2
)-2f(
x
1
+
x
2
2
)=8[1n(1+
e
x
1
)-9
x
1
+1n(1+
e
x
2
)-9
x
2
-21n(1+
e
x
1
+
x
2
2
)+9(
x
1
+
x
2
)]
=
8[1n(1+
e
x
1
)(1+
e
x
2
)-1n(1+
e
x
1
+
x
2
2
)
2
]
=
8[1n(1+
e
x
1
+
e
x2
+
e
x1+
x
2
)-1n(1+2•
e
x
1
+
x
2
2
+
e
x
1
+
x
2
)]
．
∵x1≠x2，∴ex1+ex2＞2
e
x
1
+
x
2
=2•
e
x
1
+
x
2
2
，∴
f(
x
1
)+f(
x
2
)-2f(
x
1
+
x
2
2
)＞0
，
∴
f(
x
1
+
x
2
2
)＜
f(
x
1
)+f(
x
2
)
2
．
（2）∵f′（x）=
8
e
x
1+
e
x
-9=
-9-
e
x
1+
e
x
＜0恒成立，∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），且x1＜x2＜x3．
∴f（x1）＞f（x2）＞f（x3），x2=
x
1
+
x
2
2
，
∴
BA
•
BC
=(
x
1
-
x
2
)(
x
3
-
x
2
)+[f(
x
1
)-f(
x
2
)]•[f(
x
3
)-f(
x
2
)]
∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0，∴
BA
•
BC
＜0，
故B为钝，△ABC为钝角三角形． 若△ABC是等腰三角形，则只可能是
|BA|
=|
BC|
，
即（x1-x2）2+[f（x1）-f（x2）]2=（x3-x2）2+[f（x3）-f（x2）]2
∵x2=
x
1
+
x
3
2
，∴有[f（x1）-f（x2）]2=[f（x3）-f（x2）]2，∴f（x1）-f（x2）=f（x2）-f（x3），
即：f（x2）=
f(
x
1
)+f(
x
3
)
2
即：
f(
x
1
+
x
2
2
)=
f(
x
1
)+f(
x
2
)
2
，这与（1）结论矛盾，∴△ABC不能为等腰三角形．
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已知函数f（x）=2sinx4cosx4+3cosx
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在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b
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答案
∴f(x1)+f(x2)-2f(
=8[1n(1+ex1)(1+ex2)-1n(1+e
=8[1n(1+ex1+ex2+ex1+x2)-1n(1+2•e
∵x1≠x2，∴ex1+ex2＞2
∴f(
（2）∵f′（x）=
设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），且x1＜x2＜x3．
∴f（x1）＞f（x2）＞f（x3），x2=
∴
∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0，∴
故B为钝，△ABC为钝角三角形． 若△ABC是等腰三角形，则只可能是
即（x1-x2）2+[f（x1）-f（x2）]2=（x3-x2）2+[f（x3）-f（x2）]2
∵x2=
即：f（x2）=
即：f(