已知锐角三角形ABC中，（13分）（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高-高一数学

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已知锐角三角形ABC中，

（13分）
（Ⅰ）求证：

；
（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高

题型：解答题难度：偏易来源：不详

答案

（1）sin(A+B)=

,sin(A-B)=

sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=

sin(A- B)=sinAcosB-sinBcosA=

两式相加相减后可得：sinAcosB=

，sinBcosA=

将两式相除，可得tanA=2tanB
（2）∵△ABC是锐角三角形
∴0＜C＜

又A＋B＝π－C
∴

＜A＋B＜π
∵sin(A＋B)＝3/5
∴cos(A＋B)＝

＝－

则tan(A＋B)＝sin(A＋B)/cos(A＋B)＝－

即(tanA＋tanB)/(1－tanAtanB)＝－

又tanA＝2tanB
∴3tanB/(1－2tan²B)＝－

即2tan²B－4tanB－1＝0
解得tanB＝

∵0＜B＜

∴tanB＝

＝1＋

把已知的两等式分别利用两角和与差的正弦函数公式化简，将化简后的两等式组成方程组，两方程相加相减可得出sinAcosB及cosAsinB的值，两式相除并利用同角三角函数间的基本关系可得到tanA与tanB的关系，由三角形为锐角三角形，得到C的范围，根据三角形的内角和定理得出A+B的范围，由sin（A+B）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（A+B）的值，再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tan（A+B）的值，然后利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A+B），将得出的tanA的关系式代入得到关于tanB的方程，求出方程的解即可得到tanB的值

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