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已知sinθ+cosθ=15，θ∈（0，π）．求值：（1）tanθ；（2）sinθ-cosθ；（3）sin3θ+cos3θ-数学

题目简介

已知sinθ+cosθ=15，θ∈（0，π）．求值：（1）tanθ；（2）sinθ-cosθ；（3）sin3θ+cos3θ-数学

题目详情

已知sinθ+cosθ=
1
5
，θ∈（0，π）．求值：
（1）tanθ；
（2）sinθ-cosθ；
（3）sin3θ+cos3θ
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

方法一∵sinθ+cosθ=class="stub"1
5
，θ∈（0，π），
∴（sinθ+cosθ）2=class="stub"1
25
=1+2sinθcosθ，
∴sinθcosθ=-class="stub"12
25
＜0．
由根与系数的关系知，sinθ，cosθ是方程x2-class="stub"1
5
x-class="stub"12
25
=0的两根，
解方程得x1=class="stub"4
5
，x2=-class="stub"3
5
．
∵sinθ＞0，cosθ＞0，
∴sinθ=class="stub"4
5
，cosθ=-class="stub"3
5
．
（1）tanθ=class="stub"sinθ
cosθ
=-class="stub"4
3
．
（2）sinθ-cosθ=class="stub"7
5
．
（3）sin3θ+cos3θ=class="stub"37
125
．
方法二（1）同方法一．
（2）（sinθ-cosθ）2=1-2sinθ•cosθ=1-2×(-class="stub"12
25
)=class="stub"49
25
．
∵sinθ＞0，cosθ＜0，∴sinθ-cosθ＞0，
∴sinθ-cosθ=class="stub"7
5
．
（3）sin3θ+cos3θ=（sinθ+cosθ）（sin2θ-sinθcosθ+cos2θ）=class="stub"1
5
×(1+class="stub"12
25
)=class="stub"37
125
．

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