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已知数列{an}（n∈N*）满足a1=1且an=an-1cos2nπ3，则其前2013项的和为______．-数学

题目简介

已知数列{an}（n∈N*）满足a1=1且an=an-1cos2nπ3，则其前2013项的和为______．-数学

题目详情

已知数列{an}（n∈N*）满足a1=1且an=an-1cos
2nπ
3
，则其前2013项的和为______．
题型：填空题难度：中档来源：不详

答案

当n=3k（k∈N）时，cosclass="stub"2×3kπ
3
=cos2kπ=1，
当n=3k+1（k∈N）时，cos
2×(3k+1)π
3
=cos(2kπ+class="stub"2π
3
)=cosclass="stub"2π
3
=-class="stub"1
2
，
当n=3k+2（k∈N）时，cos
2×(3k+2)π
3
=cos(2kπ+class="stub"4
3
π)=-cosclass="stub"π
3
=-class="stub"1
2
，
由a1=1且an=an-1cosclass="stub"2nπ
3
，
得：a2=a1cosclass="stub"2π
3
=-class="stub"1
2
，a3=a2cos2π=-class="stub"1
2
，
a4=a3cosclass="stub"8π
3
=(-class="stub"1
2
)×(-class="stub"1
2
)=class="stub"1
4
，a5=a4cosclass="stub"10π
3
=class="stub"1
4
×(-class="stub"1
2
)=-class="stub"1
8
，
a6=a5cosclass="stub"12π
3
=(-class="stub"1
8
)×cos4π=(-class="stub"1
8
)×1=-class="stub"1
8
，
…
由此可得从第一项起，数列{an}的每三项和为0，
而2013=671×3，所以，S2013=（a1+a2+a3）+（a4+a5+a6）+…+（a2011+a2012+a2013）=0．
故答案为0．

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