（本小题满分14分）已知f (x)＝mx(m为常数，m>0且m≠1)．设f (a1)，f (a2)，…，f (an)，…(n∈N)是首项为m2，公比为m的等比数列． (1)求证：数列{an}是等差数列； (2)若bn＝an f (an)，且数列{bn}的前n项和为Sn，当m＝3时，求Sn； (3)若cn＝ f(an) lg f (an)，问是否存在m，使得数列{cn}中每一项恒不小于它后面的项？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：偏易来源：不详
答案
解： (1)由题意f (an)＝m2·mn-1，即man＝mn+1. ∴an＝n＋1，∴an＋1－an＝1，∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列． (2)由题意bn＝an f (an)＝(n＋1)·mn+1， 当m＝3时，bn＝(n＋1)·3n+1，∴Sn＝2·32＋3·33＋4·34＋…＋(n＋1)·3n+1① ①式两端同乘以3得，3Sn＝2·33＋3·34＋4·35＋…＋n·3n+1＋(n＋1)·3n+2② ②－①并整理得， 2Sn＝－2·32－33－34－35－…－3n+1＋(n＋1)·3n+2＝－32－(32＋33＋34＋…＋3n+1)＋(n＋1)·3n+2 ＝－32－＋(n＋1)·3n+2＝－9＋ (1－3n)＋(n＋1)·3n+2＝(n＋)3n+2－. ∴Sn＝(2n＋1)3n+2－. (3)由题意cn＝f (an)·lg f (an)＝mn+1·lgmn+1＝(n＋1)·mn+1·lgm， 要使cn≥cn＋1对一切n∈N*成立，即(n＋1)·mn+1·lgm≥(n＋2)·mn+2·lgm，对一切n∈N*成立， ① 当m>1时，lgm>0，所以n＋1≥m(n＋2)，即m≤对一切n∈N*成立， 因为＝1－的最小值为，所以m≤，与m>1不符合，即此种情况不存在. ②当0<m<1时，lgm<0，所以n＋1≤m(n＋2)，即m≥对一切n∈N*成立，所以≤m<1. 综上，当≤m<1时，数列{cn}中每一项恒不小于它后面的项
题目简介
（本小题满分14分）已知f(x)＝mx(m为常数，m>0且m≠1)．设f(a1)，f(a2)，…，f(an)，…(n∈N)是首项为m2，公比为m的等比数列．(1)求证：数列{an}是等差数列；(
题目详情
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)若bn＝an f (an)，且数列{bn}的前n项和为Sn，当m＝3时，求Sn；
(3)若cn＝ f(an) lg f (an)，问是否存在m，使得数列{cn}中每一项恒不小于它后面的项？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案
∴an＝n＋1，∴an＋1－an＝1，∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列．
(2)由题意bn＝an f (an)＝(n＋1)·mn+1，
当m＝3时，bn＝(n＋1)·3n+1，∴Sn＝2·32＋3·33＋4·34＋…＋(n＋1)·3n+1①
①式两端同乘以3得，3Sn＝2·33＋3·34＋4·35＋…＋n·3n+1＋(n＋1)·3n+2②
②－①并整理得，
2Sn＝－2·32－33－34－35－…－3n+1＋(n＋1)·3n+2＝－32－(32＋33＋34＋…＋3n+1)＋(n＋1)·3n+2
＝－32－
∴Sn＝
(3)由题意cn＝f (an)·lg f (an)＝mn+1·lgmn+1＝(n＋1)·mn+1·lgm，
要使cn≥cn＋1对一切n∈N*成立，即(n＋1)·mn+1·lgm≥(n＋2)·mn+2·lgm，对一切n∈N*成立，
① 当m>1时
因为
②当0<m<1时，lgm<0，所以n＋1≤m(n＋2)，即m≥
综上，当