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（本题满分12分）已知集合A={a，b，c}，其中a，b，c是三个连续的自然数。如果a，b，c能够作为一个三角形的三边长，且该三角形的最大角是最小角的2倍，求所有满足条件的集合A。-高三数学

题目简介

（本题满分12分）已知集合A={a，b，c}，其中a，b，c是三个连续的自然数。如果a，b，c能够作为一个三角形的三边长，且该三角形的最大角是最小角的2倍，求所有满足条件的集合A。-高三数学

题目详情

（本题满分12分）
已知集合A={a，b，c}，其中a，b，c是三个连续的自然数。如果a，b，c能够作为一个三角形的三边长，且该三角形的最大角是最小角的2倍，求所有满足条件的集合A。

题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

A=｛4,5,6｝

解法一：依题意，不妨设

，对应的三个内角是

由正弦定理，

…………………………4分
所以

…………………………6分
由余弦定理，

……………8分
即

化简，得：

所以，

不合题意，舍去。

，三角形的三边长为4,5,6. …………………………10分
可以验证此三角形的最大角是最小角的2倍。 …………………………11分
故：A=｛4,5,6｝ …………………………12分
解法二：先考虑三角形应满足的第一个性质：三边是连续的自然数
⑴三边长不可能是1,2,3，因为1+2=3而三角形的任何两边之和都大于第三边；
…………………………1分
⑵如果三角形ABC的三边长分别是a=2，b=3，c=4
因为

，

此三角形中，A是最小角，C是最大角，但是

所以2A≠C从而三边
长分别是a=2，b=3，c=4不符合条件。 …………………………3分
⑶如果三角形ABC的三边长分别是a=3，b=4，c=5，此三角形是直角三角形，最大角是900，最小角不等于450，此三角形不满足条件。 …………………………5分
⑷如果三角形ABC的三边长分别是a=4，b=5，c=6，此时

，

，

因为

，所以2A=C
故三边长分别是a=4，b=5，c=6满足条件。 …………………………8分
⑸当n>4时，三角形ABC的三边长分别是a=n，b=n+1，c=n+2时，三角形的最小角是A，最大角是C，

随n的增大而减小，A随之增大，

随n的增大而增大，C随之减小。由于n=4时有2A=C，所以n>4时不可能有2A=C。 …………………………11分
总上可知，只有边长分别为4,5,6的三角形满足条件，即A=｛4,5,6｝ …………12分

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