设不等式所表示的平面区域为Dn,记Dn内的格点(x,y)(x,y∈Z)的个数为f(n)(n∈N*).(注:格点是指横坐标、纵坐标均为整数的点)(Ⅰ)求f(1),f(2)的值及f(n)的表达式;(Ⅱ)记

题目简介

设不等式所表示的平面区域为Dn,记Dn内的格点(x,y)(x,y∈Z)的个数为f(n)(n∈N*).(注:格点是指横坐标、纵坐标均为整数的点)(Ⅰ)求f(1),f(2)的值及f(n)的表达式;(Ⅱ)记

题目详情

设不等式所表示的平面区域为Dn,记Dn内的格点(x,y)(x,y∈Z)的个数为f(n)(n∈N*).(注:格点是指横坐标、纵坐标均为整数的点)
(Ⅰ)求f(1),f(2)的值及f(n)的表达式;
(Ⅱ)记,若对于任意n∈N*,总有Tn≤m成立,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)设Sn为数列{bn}的前n项和,其中,问是否存在正整数n,t,使成立,若存在,求出正整数n,t;若不存在,请说明理由.
题型:解答题难度:偏难来源:湖南省模拟题

答案

解:(Ⅰ)f(1)=3,f(2)=6,
由x>0,0<y≤-nx+3,得0<x<3,
又x∈N*,x=1或x=2,
当x=1,0<y≤2n时,共有2n个格点;
当x=2,0<y≤n时,共有n个格点,
故f(n)=n+2n=3n。 
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

时,

所以,,故
(Ⅲ)假设存在满足题意的n和t,
由(Ⅰ)知,故

变形,得


由于n,t均为正整数,所以n=t=1。

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