已知a，b，c是不全相等的正数，求证：（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）＞16abc．-数学

题目简介

已知a，b，c是不全相等的正数，求证：（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）＞16abc．

题型：解答题难度：中档来源：不详

证明：∵ab+a+b+1=（a+1）?（b+1），ab+ac+bc+c2=（a+c）?（b+c），
∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）=（a+1）?（b+1）?（a+c）?（b+c），
∵a，b，c是正数，
∴a+1≥2

＞0，b+1≥2

＞0，a+c≥2

＞0，b+c≥2

＞0，
又a，b，c是不全相等的正数，
∴（a+1）（b+1）（a+c）（b+c）＞2

×2

=16abc，
∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）＞16abc．