首页 > 已知a1，a2，…，a8是首项为1，公比为2的等比数列，对于1≤k＜8的整数k，数列b1，b2，…，b8由bn=an+k，1≤n≤8-kan+k-8，8-k＜n≤8确定．记C=8n=1anbn．（I）

已知a1，a2，…，a8是首项为1，公比为2的等比数列，对于1≤k＜8的整数k，数列b1，b2，…，b8由bn=an+k，1≤n≤8-kan+k-8，8-k＜n≤8确定．记C=8n=1anbn．（I）

题目简介

已知a1，a2，…，a8是首项为1，公比为2的等比数列，对于1≤k＜8的整数k，数列b1，b2，…，b8由bn=an+k，1≤n≤8-kan+k-8，8-k＜n≤8确定．记C=8n=1anbn．（I）

题目详情

已知a1，a2，…，a8是首项为1，公比为2的等比数列，对于1≤k＜8的整数k，数列b1，b2，…，b8由bn=
an+k，1≤n≤8-k
an+k-8， 8-k＜n≤8
确定．记C=
8


n=1
anbn．
（I）求k=3时C的值（求出具体的数值）；
（Ⅱ）求C最小时k的值．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

（I）显然an=2n-1(1≤n≤8)．
∴k=3，∴bn=
an+3，1≤n≤5
an-5，5＜n≤8.

∴C=
8




















n=1
anbn=
5




















n=1
anan+3+
8




















n=6
anan-5=
5




















n=1
22n+1+
8




















n=6
22n-6
=（23+25+27+29+211）+（25+27+29）
=3400．
（II）∵bn=
an+k，1≤n≤8-k
an+k-8，8-k＜n≤8.

∴C=
8




















n=1
anbn=
8-k




















n=1
anan+k+
8




















n=0-k
anan+k-8=
8-k




















n=1
22n+k-2+
8




















n=9-k
22n+k-10，
=
2k(48-k-1)
4-1
+
28-k(4k-1)
4-1
=class="stub"1
3
(216-k-2k+28+k-28-k)
=class="stub"1
3
(212-24)(24-k+2k-4)≥class="stub"2
3
(212-24)
24-k•2k-4
=2720．
∴当且仅当24-k=2k-4时，C的值最小，此时解得k=4．

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