当实数t取什么值时,复数z=|cost|+|sint|i的幅角主值θ适合0≤θ≤π4?-数学

题目简介

当实数t取什么值时,复数z=|cost|+|sint|i的幅角主值θ适合0≤θ≤π4?-数学

题目详情

当实数t取什么值时,复数z=
|cost|
+
|sint|
i
的幅角主值θ适合0≤θ≤
π
4
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

因为复数z=
|cost|
+
|sint|
i
的实部与虚部都是非负数,
所以z的幅角主值θ一定适合0≤θ≤class="stub"π
2

从而0≤θ≤class="stub"π
4
⇔0≤tgθ≤1.

显然r=|z|≠0因为tgθ=
|sint|
|cost|
=
|tgt|
,所以0≤tgθ≤1⇔0≤|tgθ|≤1⇔-1≤tgt≤1.
由于
y=tgt在-class="stub"π
2
<t<class="stub"π
2
内是增函数,并且它的周期是π,
因此-1≤tgt≤1的解是kπ-class="stub"π
4
≤t≤kπ+class="stub"π
4
(k为任意整数).

这就是所求的实数t的取值范围

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