(1)求满足y4+2x4+1=4x2y的所有整数对(x,y);(2)求出所有满足5(xy+yz+zx)=4xyz的正整数解.-数学

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(1)求满足y4+2x4+1=4x2y的所有整数对(x,y);(2)求出所有满足5(xy+yz+zx)=4xyz的正整数解.-数学

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(1)求满足y4+2x4+1=4x2y的所有整数对(x,y);
(2)求出所有满足5(xy+yz+zx)=4xyz的正整数解.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(1)∵y4+2x4+1=4x2y⇒(2x4-4x2y+2y2)+(y4-2y2+1)=0⇒2(x2-y)2+(y2-1)2=0,
∴x2-y=0,y2-1=0,
∴原方程的所有整数解为(1,1)、(-1,1);

(2)∵5(xy+yz+zx)=4xyz⇒class="stub"1
x
+class="stub"1
y
+class="stub"1
z
=class="stub"4
5

∵4/5=(1/5)+(3/5)=(1/5)+(6/10)=(1/5)+(1/10)+(5/10)=(1/2)+(1/5)+(1/10).
⇒x,y,z的值循环为2,5,10,
class="stub"4
5
=class="stub"1
5
+class="stub"3
5
=class="stub"1
5
+class="stub"6
10
=class="stub"1
5
+class="stub"1
10
+class="stub"5
10
=class="stub"1
5
+class="stub"1
10
+class="stub"1
2
class="stub"4
5
=class="stub"1
4
+class="stub"11
20
=class="stub"1
4
+class="stub"1
20
+class="stub"10
20
=class="stub"1
4
+class="stub"1
20
+class="stub"1
2

∴所有满足5(xy+yz+zx)=4xyz的正整数解为(5,10,2)、(5,2,10)、(10,5,2)、(10,2,5)、(2,10,5)、(2,5,10)、(4,20,2)、(4,2,20)、(2,4,20)、(2,20,4)、(20,2,4)、(20,4,2).

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