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> 已知a,b,c是正实数,且abc+a+c=b,设p=2a2+1-2b2+1+3c2+1,则p的最大值为______.-数学
已知a,b,c是正实数,且abc+a+c=b,设p=2a2+1-2b2+1+3c2+1,则p的最大值为______.-数学
题目简介
已知a,b,c是正实数,且abc+a+c=b,设p=2a2+1-2b2+1+3c2+1,则p的最大值为______.-数学
题目详情
已知a,b,c是正实数,且abc+a+c=b,设
p=
2
a
2
+1
-
2
b
2
+1
+
3
c
2
+1
,则p的最大值为______.
题型:填空题
难度:中档
来源:不详
答案
设a=tanα,b=tanβ,c=tanγ,α,β,γ∈(0,
class="stub"π
2
),
则p=2cos2α-2cos2β+3cos2γ=cos2α-cos2β+3cos2γ=2sin(α+β)sin(β-α)+3cos2γ.
由abc+a+c=b得b=
class="stub"a+c
1-ac
即tanβ=
class="stub"tanα+tanγ
1-tanαtanγ
=tan(α+γ),又α,β,γ∈(0,
class="stub"π
2
),
所以β=α+γ,β-α=γ,p=2sin(α+β)sin(β-α)+3cos2γ=2sin(α+β)sinγ+3cos2γ≤2sinγ+3cos2γ=
class="stub"10
3
-3(sinγ-
class="stub"1
3
)2≤
class="stub"10
3
.
当α+β=
class="stub"π
2
,sinγ=
class="stub"1
3
时取等号.
所以
p=
class="stub"2
a
2
+1
-
class="stub"2
b
2
+1
+
class="stub"3
c
2
+1
的最大值为
class="stub"10
3
故答案为:
class="stub"10
3
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如果实数x、y满足条件,若有最大
下一篇 :
设x,y满足约束条件3x-y-6≤0x-y
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已知a,b,c是正实数,且abc+a+c=b,设p=2a2+1-2b2+1+3c2+1,则p的最大值为______.-数学
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答案
则p=2cos2α-2cos2β+3cos2γ=cos2α-cos2β+3cos2γ=2sin(α+β)sin(β-α)+3cos2γ.
由abc+a+c=b得b=
即tanβ=
所以β=α+γ,β-α=γ,p=2sin(α+β)sin(β-α)+3cos2γ=2sin(α+β)sinγ+3cos2γ≤2sinγ+3cos2γ=
当α+β=
所以p=
故答案为: