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设a=1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+120002+120012，问与a最接近的整数是多少？-数学

题目简介

设a=1+112+122+1+122+132+1+132+142+…+1+120002+120012，问与a最接近的整数是多少？-数学

题目详情

设a=
1+
1
12
+
1
22
+
1+
1
22
+
1
32
+
1+
1
32
+
1
42
+…+
1+
1
20002
+
1
20012
，问与a最接近的整数是多少？
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

∵n为任意的正整数，
∴
1+class="stub"1
n2
+class="stub"1
(n+1)2
=
n2(n+1)2+n2+(n+1)2
[n(n+1)]2

=
[n(n+1)]2+2n(n+1)+1
[n(n+1)]2
=
(n2+n+1)2
[n(n+1)]2
=
n2+n+1
n(n+1)
=1+class="stub"1
n(n+1)
，
∴a=(1+class="stub"1
1×2
)+(1+class="stub"1
2×3
)+(1+class="stub"1
3×4
)+…+（1+class="stub"1
2000×2001
）
=2000+class="stub"1
1×2
+class="stub"1
2×3
+class="stub"1
3×4
+…+class="stub"1
2000×2001

=2000+（1-class="stub"1
2
）+（class="stub"1
2
-class="stub"1
3
）+（class="stub"1
3
-class="stub"1
4
）+…+(class="stub"1
2000
-class="stub"1
2001
)=2001-class="stub"1
2001
．
因此，与a最接近的整数是2001．

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