首页 > 设函数f（x）对于x、y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＜0时，f（x）＜0，f（-1）=-2．（1）求证：函数f（x）是奇函数；（2）试问f（x）在x∈[-4，4]上是否有最值？若有，

设函数f（x）对于x、y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＜0时，f（x）＜0，f（-1）=-2．（1）求证：函数f（x）是奇函数；（2）试问f（x）在x∈[-4，4]上是否有最值？若有，

题目简介

设函数f（x）对于x、y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＜0时，f（x）＜0，f（-1）=-2．（1）求证：函数f（x）是奇函数；（2）试问f（x）在x∈[-4，4]上是否有最值？若有，

题目详情

设函数f（x）对于x、y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＜0时，f（x）＜0，f（-1）=-2．
（1）求证：函数f（x）是奇函数；
（2）试问f（x）在x∈[-4，4]上是否有最值？若有，求出最值；若无，说明理由．
（3）解关于x的不等式
1
2
f(bx2)-f(x)＞
1
2
f(b2x)-f(b)（b≤0）．
题型：解答题难度：中档来源：不详

答案

证明：（1）证明：令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），从而f（0）=0，
令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
从而f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数．…（4分）
（2）设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x1-x2＜0，从而f（x1-x2）＜0，
又f（x1-x2）=f[x1+（-x2）]=f（x1）+f（-x2）=f（x1）-f（x2）．
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）为R上的增函数，
∴当x∈[-4，4]时，f（x）必为增函数．
又由f（-1）=-2，得-f（1）=-2，
∴f（1）=2，
∴当x=-4时，f（x）min=f（-4）=-f（4）=-4f（1）=-8；
当x=4时，f（x）max=f（4）=4f（1）=8．   …（9分）
（3）由已知得class="stub"1
2
[f(bx2)-f(b2x)]＜f(x)-f(b)．
∴class="stub"1
2
f(bx2-b2x)＞f(x-b)．
∴f（bx2-b2x）＞2f（x-b），即f（bx2-b2x）＞f（2x-2b）．
∵f（x）为R上增函数，
∴bx2-b2x＞2x-2b，
∴bx2-（b2+2）x+2b＞0，即（bx-2）（x-b）＞0．
当b=0时，-2x＞0，
∴不等式的解集为{x|x＜0}．
当b＜0时，（-bx+2）（x-b）＜0．
1°当-
2
＜b＜0时，不等式的解集为{x| class="stub"2
b
＜x＜b }，
2°当b＜-
2
时，不等式的解集为 {x| b＜x＜class="stub"2
b
}，
3°当b=-
2
时，不等式的解集为∅．

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