如图,I是Rt△ABC(∠C=90°)的内心,过I作直线EF∥AB,分别交CA、CB于E、F.已知EI=m,IF=n,则用m、n表示S△ABC=______.-数学

题目简介

如图,I是Rt△ABC(∠C=90°)的内心,过I作直线EF∥AB,分别交CA、CB于E、F.已知EI=m,IF=n,则用m、n表示S△ABC=______.-数学

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如图,I是Rt△ABC(∠C=90°)的内心,过I作直线EFAB,分别交CA、CB于E、F.已知EI=m,IF=n
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,则用m、n表示S△ABC=______.
题型:填空题难度:中档来源:不详

答案

如图,过I分别作三边的垂线,垂足为D、F、G,设AB=c,BC=a,AC=b,ID=IH=IG=r,
由△ABC△EIG△IFH,得class="stub"a
c
=class="stub"r
m
class="stub"b
c
=class="stub"r
n

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解得a=class="stub"rc
m
,b=class="stub"rc
n

由勾股定理,得c2=a2+b2,得1=
r2
m2
+
r2
n2

解得r=class="stub"mn
m2+n2

又ab=2S△ABC=r(a+b+c),
r2c2
mn
=r(class="stub"rc
m
+class="stub"rc
n
+c),
解得c=m+n+class="stub"mn
r
=m+n+
m2+n2

∴S△ABC=class="stub"1
2
ab=
r2c2
2mn

=class="stub"1
2mn
class="stub"mn
m2+n2
)2(m+n+
m2+n2
)2
=
m2+n2+mn+(m+n)
m2+n2
m2+n2

故答案为:
m2+n2+mn+(m+n)
m2+n2
m2+n2

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