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已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=12(1-an)．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求证：Sn＜12；（Ⅲ）设函数f（x）=log13x，bn=f（a1）+f（a2）+…+f（a

题目简介

已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=12(1-an)．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求证：Sn＜12；（Ⅲ）设函数f（x）=log13x，bn=f（a1）+f（a2）+…+f（a

题目详情

已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=
1
2
(1-an)．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：Sn＜
1
2
；
（Ⅲ）设函数f（x）=log
1
3
x，bn=f（a1）+f（a2）+…+f（an），求
n


i=1
1
bi
．
题型：解答题难度：中档来源：揭阳二模

答案

（Ⅰ）当n≥2时，an=class="stub"1
2
(1-an)-class="stub"1
2
(1-an-1)=-class="stub"1
2
an+class="stub"1
2
an-1，
∴2an=-an+an-1
∴
an
an-1
=class="stub"1
3
，----------------------------------（4分）
由S1=a1=class="stub"1
2
(1-a1)得a1=class="stub"1
3

∴数列{an}是首项a1=class="stub"1
3
、公比为class="stub"1
3
的等比数列，
∴an=class="stub"1
3
×(class="stub"1
3
)n-1=(class="stub"1
3
)n------（6分）
（Ⅱ）证明：由Sn=class="stub"1
2
(1-an)得Sn=class="stub"1
2
[1-(class="stub"1
3
)n]---------------------------------（8分）
∵1-(class="stub"1
3
)n＜1，∴class="stub"1
2
[1-(class="stub"1
3
)n]＜class="stub"1
2

∴Sn＜class="stub"1
2
---------------------------------------------------------（10分）
（Ⅲ）∵f(x)=logclass="stub"1
3
x，
∴bn=logclass="stub"1
3
a1+logclass="stub"1
3
a2+…+logclass="stub"1
3
an=logclass="stub"1
3
(a1a2…an)
=logclass="stub"1
3
(class="stub"1
3
)1+2+…+n=1+2+…+n=
n(1+n)
2
-------------------（12分）
∴class="stub"1
bn
=class="stub"2
n(1+n)
=2(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)
∴
n


i=1
class="stub"1
bi
=class="stub"1
b1
+class="stub"1
b2
+…+class="stub"1
bn
=2[(1-class="stub"1
2
)+(class="stub"1
2
-class="stub"1
3
)+…+(class="stub"1
n
-class="stub"1
n+1
)]=class="stub"2n
n+1
--------（14分）

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