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> (本小题满分14分)已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn,(p–1)Sn=p2–an,n∈N*,p>0且p≠1,数列{bn}满足bn=2logpan.(Ⅰ)若p=,设数列的前n项和为Tn
(本小题满分14分)已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn,(p–1)Sn=p2–an,n∈N*,p>0且p≠1,数列{bn}满足bn=2logpan.(Ⅰ)若p=,设数列的前n项和为Tn
题目简介
(本小题满分14分)已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn,(p–1)Sn=p2–an,n∈N*,p>0且p≠1,数列{bn}满足bn=2logpan.(Ⅰ)若p=,设数列的前n项和为Tn
题目详情
(本小题满分14分)
已知各项均为正数的数列{
a
n
}前
n
项和为
S
n
,(
p
– 1)
S
n
=
p
2
–
a
n
,
n
∈N
*
,
p
> 0且
p
≠1,数列{
b
n
}满足
b
n
= 2log
p
a
n
.
(Ⅰ)若
p
=
,设数列
的前
n
项和为
T
n
,求证:0 <
T
n
≤4;
(Ⅱ)是否存在自然数
M
,使得当
n
>
M
时,
a
n
> 1恒成立?若存在,求出相应的
M
;若不存在,请说明理由.
题型:解答题
难度:偏易
来源:不详
答案
(Ⅰ)解:由(
p
– 1)
Sn
=
p
2 –
an
(
n
∈N*) ①
由(
p
– 1)
Sn
– 1 =
p
2 –
an
– 1 ②
① – ②得
(
n
≥2)
∵
an
> 0
(
n
∈N*)
又(
p
– 1)
S
1 =
p
2 –
a
1,∴
a
1 =
p
{
an
}是以
p
为首项,
为公比的等比数列
an
= p
bn
= 2log
pan
= 2log
pp
2 –
n
∴
bn
=" 4" – 2
n
…………
4分
证明:由条件
p
=
得
an
= 2
n
– 2
∴
Tn
=
①
②
① – ②得
=" 4" – 2 ×
=" 4" – 2 ×
∴
Tn
=
…………8分
Tn
–
Tn
– 1 =
当
n
> 2时,
Tn
–
Tn
– 1< 0
所以,当
n
> 2时,0 <
Tn
≤
T
3 = 3
又
T
1 =
T
2 = 4,∴0 <
Tn
≤4.…………10分
(Ⅱ)解:若要使
an
> 1恒成立,则需分
p
> 1和0 <
p
< 1两种情况讨论
当
p
> 1时,2 –
n
> 0,
n
< 2
当0 <
p
< 1时,2 –
n
< 0,
n
> 2
∴当0 <
p
< 1时,存在
M
= 2
当
n
>
M
时,
an
> 1恒成立.…………14分
略
上一篇 :
化学与环境密切相关,下列说法正
下一篇 :
)(本题满分14分)设等差数列{an
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题目简介
(本小题满分14分)已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn,(p–1)Sn=p2–an,n∈N*,p>0且p≠1,数列{bn}满足bn=2logpan.(Ⅰ)若p=,设数列的前n项和为Tn
题目详情
已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn,(p – 1)Sn = p2 – an,n ∈N*,p > 0且p≠1,数列{bn}满足bn = 2logpan.
(Ⅰ)若p =
(Ⅱ)是否存在自然数M,使得当n > M时,an > 1恒成立?若存在,求出相应的M;若不存在,请说明理由.
答案
由(p – 1)Sn – 1 = p2 – an – 1 ②
① – ②得
∵an > 0(n∈N*)
又(p – 1)S1 = p2 – a1,∴a1 = p
{an}是以p为首项,
an = p
bn = 2logpan = 2logpp2 – n
∴bn =" 4" – 2n …………4分
证明:由条件p =
∴Tn =
① – ②得
=" 4" – 2 ×
=" 4" – 2 ×
∴Tn =
Tn – Tn – 1 =
当n > 2时,Tn – Tn – 1< 0
所以,当n > 2时,0 < Tn≤T3 = 3
又T1 = T2 = 4,∴0 < Tn≤4.…………10分
(Ⅱ)解:若要使an > 1恒成立,则需分p > 1和0 < p < 1两种情况讨论
当p > 1时,2 – n > 0,n < 2
当0 < p < 1时,2 – n < 0,n > 2
当n > M时,an > 1恒成立.…………14分