设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn2-2Sn-anSn+1=0，n=1，2，3，…．（1）求a1，a2；（2）求Sn的表达式．-数学

题目简介

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n²-2S_n-a_nS_n+1=0，n=1，2，3，…．
（1）求a₁，a₂；
（2）求S_n的表达式．

题型：解答题难度：中档来源：江西模拟

（1）当n=1时，由已知得

-2a1-

+1=0，解得a1=class="stub"1

．
同理，可解得a2=class="stub"1

．
（2）由题设Sn2-2Sn+1-anSn=0，当n≥2（n∈N*）时，an=Sn-Sn-1，
代入上式，得Sn-1Sn-2Sn+1=0．（*）
由（1）可得S1=a1=class="stub"1

，S2=a1+a2=class="stub"1

+class="stub"1

=class="stub"2

．由（*）式可得S3=class="stub"3

．
由此猜想：Sn=class="stub"n

n+1

(n∈N*)（8分）
证明：①当n=1时，结论成立．②假设当n=k（k∈N*）时结论成立，
即Sk=class="stub"k

k+1

，那么，由（*）得Sk+1=class="stub"1

2-Sk

，∴Sk+1=class="stub"1

2-class="stub"k

k+1

=class="stub"k+1

k+2

．
所以当n=k+1时结论也成立，根据①和②可知，Sn=class="stub"n

n+1

对所有正整数n都成立．因Sn=class="stub"n

n+1

．