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（Ⅰ）（20分）在复数范围内解方程(i为虚数单位)（Ⅱ）设z是虚数，ω=z+是实数，且－1＜ω＜2（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（10分）（2）设u=，求证：u为纯虚数；（5分）（3）求ω－

题目简介

（Ⅰ）（20分）在复数范围内解方程(i为虚数单位)（Ⅱ）设z是虚数，ω=z+是实数，且－1＜ω＜2（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（10分）（2）设u=，求证：u为纯虚数；（5分）（3）求ω－

题目详情

（Ⅰ）（20分）在复数范围内解方程

(i为虚数单位)
（Ⅱ）设z是虚数，ω=z+

是实数，且－1＜ω＜2

（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（10分）
（2）设u=

，求证：u为纯虚数；（5分）
（3）求ω－u²的最小值,（5分）

题型：解答题难度：偏易来源：不详

答案

（Ⅰ）原方程化简为

,
设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi="1-i,"
∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-

且y=±

,
∴原方程的解是z=-

±

i.
（Ⅱ）（1）设z=a+bi(a、b∈R，b≠0)，
则ω=a+bi+

=(a+

)+(b－

)i

∵ω是实数，∴

,又∵b≠0，∴a2+b2=1，即|z|=1

∵ω=2a，－1＜ω＜2，∴z的实部的取值范围是(－

，1)

（2）证明：u=

=

=

=

由（1）知a2+b2=1,∴u=－

I,又∵a∈(－

，1)，b≠0，
∴u为纯虚数

（3）解：ω－u2=2a+

=2a+

=2a－

=2a－1+

=2［(a+1)+

］－3

∵a∈(－

，1)，∴a+1＞0,
∴(a+1)+

≥2(当a+1=

，即a=0时，上式取等号.)
∴ω－u2≥2×2－3=1,∴ω－u2的最小值为1.

略

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