已知数列{an},{bn}满足:a1=92,2an+1-an=6•2n,bn=an-2n+1(n∈N*).(Ⅰ)证明数列{bn}为等比数列.并求数列{an},{bn}的通项公式;(Ⅱ)记数列{an},

题目简介

已知数列{an},{bn}满足:a1=92,2an+1-an=6•2n,bn=an-2n+1(n∈N*).(Ⅰ)证明数列{bn}为等比数列.并求数列{an},{bn}的通项公式;(Ⅱ)记数列{an},

题目详情

已知数列{an},{bn}满足:a1=
9
2
2an+1-an=6•2nbn=an-2n+1(n∈N*).
(Ⅰ)证明数列{bn}为等比数列.并求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)记数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意的n∈N*都有
Sn
Tn
m
bn
,求实数m的最小值.
题型:解答题难度:中档来源:不详

答案

(Ⅰ)证明:由已知得2(an+1-2n+2)=an-2n+1,…(2分)
bn=an-2n+1,∴2bn+1=bn
a1=class="stub"9
2
,∴b1=class="stub"1
2

∴{bn}为等比数列.…(4分)
所以bn=(class="stub"1
2
)n
,…(6分)
进而an=2n+1+(class="stub"1
2
)n
.…(7分)
(Ⅱ)
Sn
Tn
=
(22+23+…+2n+1)+(class="stub"1
2
+…+class="stub"1
2n
)
class="stub"1
2
+…+class="stub"1
2n
=
2n+2-4
1-class="stub"1
2n
+1
=4•2n+1…(10分)
m≥(4•2n+1)class="stub"1
2n
=4+class="stub"1
2n
对任意的n∈N*成立. …(12分)
∵数列{4+class="stub"1
2n
}
是递减数列,∴(4+class="stub"1
2n
)max=class="stub"9
2

∴m的最小值为class="stub"9
2
. …(14分)

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