已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N*），对于A的一个子集S：若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1-s2|≠m，则称S具有性质P。（1）当n=10时，试判断

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已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N*），对于A的一个子集S：若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s₁，s₂，都有|s₁-s₂|≠m，则称S具有性质P。
（1）当n=10时，试判断集合B={x∈A|x>9}和C={x∈A|x=3k-1，k∈N*）是否具有性质P？并说明理由；（2）若集合S具有性质P，试判断集合T={（2n+1）-x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由。

题型：解答题难度：中档来源：专项题

答案

解：（1）当n=10时，集合A={1，2，3，…，19，20}，B={x∈A|x>9}={10，11，12，…，19，20}不具有性质P。
因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到集合B中两个元素b1=10与b2=10+m，使得|b1-b2|=m成立。集合C={x∈A|x=3k-1，k∈N*）具有性质P。
因为可取m=1＜10，对于该集合中任意一对元素c1=3k1-1，c2=3k2-1，k1，k2∈N*都有|c1-c2|=3|k1-k2|≠1。
（2）若集合S具有性质P，那么集合T={（2n+1）- x|x∈S）一定具有性质P。
首先因为T={（2n+1）-x|x∈S}，
任取t=（2n+1）-x0∈T，其中x0∈S，
因为SA，所以x0∈{1，2，3，…，2n}，
从而1≤（2n+1）-x0≤2n，即t∈A，
所以TA由S具有性质P，可知存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1-s2|≠m，
对上述取定的不大于n的正整数m，从集合T={（2n+1）-x|x∈S}中任取元素t1= 2n+1-x1，t2=2n+1-x2，
其中x1，x2∈S，都有|t1-t2|=|x1-x2|；
因为x1，x2∈S，所以有|x1-x2|≠m，即
|t1-t2|≠m，
所以集合T={（2n+1）-x|x∈S}具有性质P。

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已知集合A={1，2，3，…，2n}（n∈N*），对于A的一个子集S：若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1-s2|≠m，则称S具有性质P。（1）当n=10时，试判断

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